Задача к ЕГЭ на тему «Сложные задачи на числовые выражения» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите значение выражения

---1√---+ √---1-√---+ ⋅⋅⋅ + √----1-√----- 1 + 2 2 + 3 99 + 100

Умножим каждую дробь на сопряженное к ее знаменателю:

$√ -- √-- √ -- √ ---- √ --- 2 − 1 3 − 2 100 − 99 -√-------√--------+ -√-----√----√-----√---+ ⋅⋅ ⋅ +-√-------√-----√-------√---- = ( 2 + 1 )( 2 − 1) ( 3 + 2)( 3 − 2) ( 100 + 99)( 100 − 99)$

$√ -- √ -- √ -- √ ---- √--- --2 −-1 --3-−---2 --100-−---99- = 2 − 1 + 3 − 2 + ⋅⋅⋅ + 100 − 99 =$

$√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ --- √ --- √ ---- √ --- = 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ⋅⋅⋅ + 99 − 98 + 100 − 99$

Заметим, что все слагаемые, кроме $− 1$ и $√ ---- 100$ , взаимно уничтожатся, то есть значение этого выражения равно

√ ---- − 1 + 100 = − 1 + 10 = 9