Задача к ЕГЭ на тему «Сложные задачи на числовые выражения» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите значение выражения

2 2 256 256 512 512 1024 (2-+-3)(2--+-3-) ⋅ ...⋅ (2-+-3--)(2----+-3---) +-2--- 31024

Умножим числитель и знаменатель данного выражения на $(3 − 2)$ (от этого данное выражение не изменит своего значения):

(3 − 2)(2 + 3)(22 + 32) ⋅ ...⋅ (2256 + 3256)(2512 + 3512) + (3 − 2) ⋅ 21024 ------------------------------------1024--------------------------- (3 − 2) ⋅ 3

Применим формулу разности квадратов $2 2 (a − b)(a + b) = a − b$ для числителя:
$(3 − 2)(3 + 2) = 32 − 22$
$(32 − 22)(32 + 22 ) = 34 − 24$
$(34 − 24)(34 + 24 ) = 38 − 28$
$...$ $256 256 256 256 512 512 (3 − 2 )(3 + 2 ) = 3 − 2$
$512 512 512 512 1024 1024 (3 − 2 )(3 + 2 ) = 3 − 2$

Таким образом, дробь примет вид:

(31024 − 21024) + (3 − 2) ⋅ 22014 31024 − 21024 + 21024 ------------------1024---------= --------1024------- = 1 (3 − 2) ⋅ 3 3