Задача к ЕГЭ на тему «Сложные задачи на числовые выражения» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите значение выражения $1 1 1 1 1 1 ---- + ---- + ---- + ---- + ...+ ---------+ ---------- 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 998 ⋅ 999 999 ⋅ 1000$ .

Так как для всякого $n ∈ ℕ$ верно

----1----- = -1 − --1---, n ⋅ (n + 1) n n + 1

то

1 1 1 1 1 1 ---- + ---- + ----+ ----+ ...+ --------- + ----------= 1(⋅ 2 2)⋅ 3 ( 3 ⋅ 4 ) 4 ⋅ 5( )998 ⋅( 999 )999 ⋅ 1000( ) ( ) 1-− 1- + 1-− 1- + 1− 1- + 1− 1- + ...+ -1--− -1-- + -1--− --1-- . 1 2 2 3 3 4 4 5 998 999 999 1000

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего сократятся, следовательно, останется

1 − --1-- = 0,999. 1000