Задача к ЕГЭ на тему «Сложные задачи на буквенные выражения» №5

Найдите значение выражения

(                     )   (                )     2            x +-4-              --3---  6x  + 5x − 1 +  x + 1  ÷   3x − 2 + x + 1

при x = 2017  .

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю, а затем поделим полученные дроби:

 

(6x2 + 5x − 1)(x + 1) + x + 4   (3x − 2)(x + 1) + 3 -----------------------------÷  ------------------- =             x + 1                      x + 1   

     3      2               2 =  6x--+-11x--+-5x-+-3-÷  3x-+--x +-1-=           x + 1              x + 1   

     3      2    6x--+-11x--+-5x-+-3- ---x-+-1---- =         x + 1        ⋅3x2 + x +  1 =   

   6x3 + 11x2 + 5x + 3 =  ------2-------------        3x  + x + 1   

Попробуем разделить в столбик числитель этой дроби на знаменатель:

  3      2             |       2 6x +3  11x2 + 5x + 3    |-----3x-+--x +-1----- 6x--+-2x-2+-2x-        |       2x + 3        9x  + 3x + 3    |        9x2-+-3x-+-3-   |                   0    |

Т.к. остаток равен нулю, то это значит, что числитель дроби можно представить в виде 6x3 + 11x2 + 5x +  3 = (2x + 3)(3x2 + x + 1)  . Таким образом:

6x3 + 11x2 +  5x + 3   (2x + 3 )(3x2 + x + 1) -------2------------ = --------2------------ =  2x + 3      3x +  x + 1            3x  + x + 1

Значит, значение этого выражения при x = 2017  равно

2 ⋅ 2017 + 3 = 4037

Оцените статью
Я решу все!