Задача к ЕГЭ на тему «Сложные задачи на буквенные выражения» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите значение выражения $a4 + a2b2 + b4$ , если $a$ и $b$ – различные корни уравнения $√ -- √ -- x2 − 47x − 3 7 = 0$ .

Выражение $a4 + a2b2 + b4$ представляет собой неполный квадрат суммы $a2$ и $b2$ . Тогда

a4 + a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − a2b2.

При этом $2 2 2 a + b = (a + b) − 2ab$ , тогда

4 2 2 4 2 2 22 a + a b + b = ((a + b) − 2ab) − a b.

По теореме Виета: $√ -- a + b = 47$ , $√ -- ab = − 3 7$ , тогда

√ -- √-- √ -- √ -- √ -- a4 + a2b2 + b4 = (( 47)2 − 2 ⋅ (− 3 7 ))2 − (− 3 7)2 = (7 7)2 − (− 3 7)2 = 280.