Задача к ЕГЭ на тему «Скалярное произведение векторов» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCD$ – трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ , причём $∠ABC = 90∘$ , $BC = 1$ , $(A⃗C, BD⃗ ) = 0,5$ . Найдите $(A⃗B, C⃗D )$ .

$A⃗C = A⃗B + B⃗C$ , $BD⃗ = B⃗C + CD⃗$

$PIC$

тогда

0,5 = (A⃗C, BD⃗ ) = (A⃗B + B⃗C, B⃗C + C⃗D ) = (AB⃗ + B⃗C, B⃗C ) + (A ⃗B + B⃗C, C⃗D ) = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = (AB, BC ) + (BC, BC ) + (AB, CD ) + (BC, CD )

Так как $ABCD$ – трапеция, а $∠ABC = 90∘$ , то и $∠DCB = 90 ∘$ , следовательно, $(A⃗B, B⃗C ) = (B⃗C, C⃗D ) = 0$ , тогда

0,5 = (A⃗B, CD⃗ ) + (B⃗C, B⃗C ) = (A⃗B, C⃗D ) + 1,

откуда получаем, что $(A⃗B, C⃗D ) = − 0,5$ .