Задача к ЕГЭ на тему «Системы неравенств» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите систему

( ( 2 ) || x-- 16- { log3 4 − x2 ≤ 1 2 ||( -----2x-+--x −-28------≤ 0 (x − 6 )2 + (x − 5)3 − 1

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

x2 16 x4 − 64 ---− -2-> 0 ⇔ —-2—> 0 ⇔ 4 x 4x √ — √ — 2 — — ⇔ (x-−-2—2)(x-+-2—2)(x—+-8) > 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 2√ 2) ∪ (2 √ 2;+∞ ) x2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ данное неравенство равносильно:

2 4 2 2 2 x-- 16- x--−-12x--−-64- (x-+--4)(x-−--16) 4 − x2 ≤ 3 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 2 ⇔ (x--+-4)(x-−-4)(x-+-4)-≤ 0 ⇔ x ∈ [− 4;0) ∪ (0;4] 4x2

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: √ -- √ -- x ∈ [− 4;− 2 2) ∪ (2 2; 4].

 

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов (x − 5)3 − 1 = (x − 5 − 1)((x − 5)2 + x − 5 + 1) = (x − 6)(x2 − 9x + 21 ) . Следовательно, знаменатель можно разложить на множители 2 2 2 (x − 6) + (x − 6)(x − 9x + 21 ) = (x − 6)(x − 8x + 15 ) = (x − 6)(x − 3)(x − 5) .

 

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде

--(2x-−--7)(x-+-4-)--- (x − 6 )(x − 3 )(x − 5) ≤ 0
Решив полученное неравенство методом интервалов, получим
( ] x ∈ (− ∞; − 4 ] ∪ 3; 7 ∪ (5;6). 2

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим ( ] x ∈ {− 4} ∪ 3; 72

Системы неравенств
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!