Задача к ЕГЭ на тему «Системы неравенств» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите систему

( || log4− x(16 − x2) ≤ 1 { | 21x + 39 1 |( 2x + 1 − -----------≥ − ------ x2 + x − 2 x + 2

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 4 − x > 0 { 4 − x ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 4;3) ∪ (3;4). |( 16 − x2 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> На ОДЗ данное неравенство равносильно: <center class=

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(4 − x − 1)(x + 4 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 3] ∪ [3;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 4; − 3] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

2x3-+-x2-+-2x2-+-x-−-4x-−-2-−-21x-−-39-+-x-−-1- 2x3-+-3x2-−-23x-−--42 (x + 2)(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x − 1) ≥ 0

Подбором находим, что $x = − 2$ является корнем многочлена $2x3 + 3x2 − 23x − 42$ . Выполнив деление в столбик $3 2 2x + 3x − 23x − 42$ на $x + 2$ , получим: $3 2 2 2x + 3x − 23x − 42 = (x + 2)(2x − x − 21) = (x + 2)(x + 3)(2x − 7)$ .

Следовательно, неравенство равносильно

(x +-2)(x-+-3-)(2x-−--7) (x + 2)(x − 1) ≥ 0,

решая которое методом интервалов, получим ответ $x ∈ [− 3;− 2 ) ∪ (− 2;1) ∪ [3,5;+ ∞ ).$

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ { − 3 } ∪ [3,5;4).$