Задача к ЕГЭ на тему «Системы неравенств» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите систему

{ 1 36x−2 − 7 ⋅ 6x−1 + 1 ≥ 0 2 x ⋅ log4(5 − 3x − x ) ≥ 0

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство можно переписать в виде

2x− 1 x−1 6 − 7 ⋅ 6 + 1 ≥ 0

Сделаем замену $6x = t > 0 » class=»math» width=»auto»>, тогда неравенство примет вид: <center class=$

2 t- − 7t + 1 ≥ 0 ⇔ t2 − 7t + 6 ≥ 0 6 6

Решим уравнение $2 t − 7t + 6 = 0$ . Его корнями будут $t1 = 1$ и $t2 = 6$ . Следовательно, $2 t − 7t + 6 = (t − 1)(t − 6)$ . Значит, неравенство примет вид

(t − 1)(t − 6 ) ≥ 0

Решив его методом интервалов, получим $t ∈ (− ∞; 1] ∪ [6;+ ∞ ).$ Теперь сделаем обратную замену:

[ x [ 6 ≤ 1 x ≤ 0 6x ≥ 6 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ ).

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ:

( √ --- √ ---) 2 2 −-3-−---29 − 3-+--29- 5 − 3x − x > 0 ⇔ x + 3x − 5 < 0 ⇔ x ∈ 2 ; 2 .

Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x(4 − 1)(5 − 3x − x2 − 1) ≥ 0 ⇔ x(x2 + 3x − 4) ≤ 0 ⇔ x(x − 1 )(x + 4) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [0;1]$ .
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства $( √ --- ] − 3 − 29 x ∈ ----------;− 4 ∪ [0;1]. 2$

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим $( √ --- ] x ∈ − 12( 29 + 3);− 4 ∪ {0;1}.$