Задача к ЕГЭ на тему «Системы неравенств» №12

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите систему

( 5 3 |{ 16x− 4 − 3 ⋅ 4x− 2 + 1 ≥ 0 | 2x2 + 5x − 7 ( log2------------- ≤ 1 3x − 2

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство перепишем в виде

16x 4x ---5− 3 ⋅-3-+ 1 ≥ 0 16 4 42

Заметим, что $1654 = (24)54 = 25$ , а $432 = (22)32 = 23$ . Сделаем замену $4x = t > 0 » class=»math» width=»auto»>: <center class=$

t2 t 2 25-− 323-+ 1 ≥ 0 ⇔ t − 12t + 32 ≥ 0 ⇔ (t − 4)(t − 8) ≥ 0 ⇔ t ∈ (− ∞; 4] ∪ [8;+ ∞ ).

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ 4x ≤ 4 x ≤ 1 ⇔ ⌈ 3 4x ≥ 8 x ≥ -- 2

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно

( ( | 2x2-+-5x-−-7- | 2x2-−-x-−-3- |{ 3x − 2 ≤ 2 |{ 3x − 2 ≤ 0 2 ⇔ 2 ||( 2x--+-5x-−-7-> 0 ||( 2x—+-5x-−—7 > 0 3x − 2 3x − 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: <img decoding=