Задача к ЕГЭ на тему «Ромб и его свойства» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность проходит через вершины $B$ , $C$ и $D$ ромба $ABCD$ , причем точка $A$ находится вне окружности и $AD$ является касательной к окружности. $K$ – точка пересечения отрезка $AC$ и окружности. Найдите отношение $CK$ к $KA$ .

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Во-первых, т.к. окружность описана около треугольника $BCD$ , то ее центр $O$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$ – а это и есть $CA$ по свойству ромба (диагонали взаимно перпендикулярны). Таким образом, $CK$ – диаметр этой окружности.

Рассмотрим треугольники $CDO$ и $ADK$ .

$PIC$

1) Т.к. $∠CDK$ опирается на диаметр $CK$ , то он равен $90∘$ . Т.к. $AD$ – касательная к окружности, то угол между ней и радиусом $OD$ равен $90∘$ . Заметим, что углы $∠CDK$ и $∠ODA$ имеют общую часть – угол $ODK$ . Следовательно, т.к. они равны, то равны и другие их части: $∠CDO = ∠ADK = α$ .

2) Т.к. треугольник $CDO$ равнобедренный ( $CO = OD$ – радиусы), то $∠DCO = α$ . Т.к. треугольник $CDA$ равнобедренный, то $∠DAK = ∠DCO = α$ .

3) Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам ( $CD = DA, ∠DCO = ∠CDO = ∠ADK = ∠DAK$ ) треугольники $CDO$ и $ADK$ равны. Следовательно, $KA = CO$ .

Значит,

CK 2CO ----= -----= 2. KA CO