Задача к ЕГЭ на тему «Ромб и его свойства» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Середины сторон ромба $ABCD$ являются вершинами четырехугольника $KLMN.$ Середины сторон $KLMN$ — четырехугольника $PQRS.$ Найдите отношение площади ромба $ABCD$ к площади четырехугольника $P QRS.$

$PIC$

$PIC$

1) По теореме Вариньона $KLMN$ — параллелограмм. Но т.к. $KN ∥ BD, KL ∥ AC, BD ⊥ AC,$ то $KN ⊥ KL,$ значит, $KLMN$ — прямоугольник, причем $SKLMN = KN ⋅KL.$

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

1 SABCD = 2AC ⋅BD

Но $1 1 KN = 2BD, KL = 2AC$ как средние линии, следовательно,

SABCD = 1 AC ⋅BD = 2KN ⋅KL = 2 ⋅SKLMN 2

2) Аналогично $P QRS$ — параллелограмм. Но, как средние линии, $P Q = 1NL, PS = 1KM; 2 2$ а $NL = KM,$ значит и $P Q= P S.$ Следовательно, $P QRS$ — ромб.

Заметим, что $QS = KN, PR = KL,$ значит,

1 1 SPQRS = 2QS ⋅PR = 2KLMN

Из всего этого следует, что $SABCD =4SPQRS.$ Значит, отношение равно $4.$

Ромб и его свойства