Задача к ЕГЭ на тему «Ромб и его свойства» №14

Просмотров 5 Комментарии 0

Диагонали ромба относятся как $4:3.$ Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

$PIC$

Отрезок $HK$ — высота ромба. Так как $AB ∥DC$ и $HK ⊥ AB,$ то $HK ⊥ DC.$

Способ 1.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к равным сторонам, равны, то $OK = OH.$

Рассмотрим $△AOB.$ Так как $AC :BD = 4:3,$ то также $AO :BO =4 :3.$ Пусть $AO =4x, BO = 3x.$ Следовательно,

∘ ---2------2 AB = (4x)+ (3x) = 5x

$PIC$

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна $200 :4= 50,$ следовательно, $5x= 50$ и $x =10.$

Высота прямоугольного треугольника $AOB,$ опущенная из вершины прямого угла $O,$ равна $AO ⋅OB :AB,$ следовательно,

4x-⋅3x- 12 OK = 5x = 5 x =24 ⇒ HK = 24⋅2= 48

Способ 2.

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна $AB = 200 :4= 50.$ Следовательно, площадь ромба равна $S = 50HK$ как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.