Задача к ЕГЭ на тему «Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан прямоугольный треугольник $CAT$ с острыми углами $A$ и $T.$ Точка $H$ — такая точка на стороне $AT,$ что $cos∠ACH = cos∠AT C = 0,2.$ Найдите $HT,$ если известно, что $AT = 2,5.$

$PIC$

Т.к. косинусы углов $ACH$ и $ATC$ равны, то равны и эти углы (т.к. это углы треугольников). Следовательно, $△ACH ∼ △CAT$ по двум углам ( $∠ACH = ∠AT C, ∠A$ — общий). Следовательно, $∠AHC =∠ACT = 90∘,$ то есть треугольник $ACH$ тоже прямоугольный.

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из вершины его прямого угла, $△CHT ∼ △CAT.$

По определению косинуса $cos∠CT H = HT-. CT$ Следовательно, необходимо найти $CT.$

Из треугольника $CAT :$

cos∠AT C = CT-= 0,2 ⇒ CT = AT ⋅0,2 =2,5⋅0,2= 0,5 AT

Следовательно,

HT = CT ⋅cos∠CT H = 0,5⋅0,2= 0,1

Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии