Задача к ЕГЭ на тему «Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

В четырёхугольнике $ABCD :$ $AD = 5,$ $AD ∥ BC,$ $BD$ перпендикулярна $AD,$ $sin∠A = cos∠A,$ $-5-- sin∠C = √ 34.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Треугольник $ABD$ — прямоугольный, тогда $∠A$ — острый. В силу основного тригонометрического тождества (для любого угла $α$ выполнено $2 2 sin α+ cos α= 1$ ) из равенства $sin∠A = cos∠A$ получаем, что

sin∠A = ± √1, 2

но $∠A$ — острый, тогда

sin∠A = √1- 2

и, значит, $∠A = 45∘.$

$∠ABD = 90∘− ∠A =45∘ = ∠A,$ тогда треугольник $ABD$ — равнобедренный и $BD =AD = 5.$

$AD ||BC,$ $BD$ перпендикулярна $AD,$ тогда $BD$ перпендикулярна и $BC.$

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, то

√5--= -5- ⇒ CD =√34- 34 CD

По теореме Пифагора

BC2 = CD2 − BD2 = 34− 25= 9 =32 ⇒ BC = 3

Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии