Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

-1--− --1--≥ --1--− -1--. x− 1 x − 2 x+ 1 x+ 2

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

( 1 1 ) ( 1 1 ) x-− 1-− x+-1 − x-− 2-− x+-2 ≥ 0 x+-1−-(x−-1)− x+-2−-(x−-2)≥ 0 (x− 1)(x +1) (x− 2)(x + 2) -----2----- -----4----- (x − 1)(x+ 1) − (x− 2)(x+ 2) ≥ 0 1 2 (x-− 1)(x+-1) − (x−-2)(x+-2) ≥ 0

По формулам сокращенного умножения имеем:

(x− 1)(x +1)= x2 − 1 (x− 2)(x +2)= x2 − 4

Тогда получим

--------x2−-4---------− -------2(x2−-1)-------≥ 0 (x − 1)(x+ 1)(x − 2)(x+ 2) (x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x+ 1) x2+ 2 ⇒ (x-−-1)(x+-1)(x-− 2)(x+-2) ≤ 0

Заметим, что выражение $x2+ 2$ всегда $≥2,$ то есть положительно, значит, можно разделить неравенство на это выражение и получить

----------1----------- (x − 1)(x+ 1)(x − 2)(x+ 2) ≤ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, подходят

x ∈(− 2;− 1) ∪(1;2)