Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2 2 x-−26−-x + 2x−-3+ x- ≤ 0. x − 4 2− x x

По формуле сокращенного умножения $x2− 4 =(x − 2)(x+ 2).$ Тогда неравенство примет вид

2 2 -x--− 6-− x-− 2x-− 3 + x-≤ 0 (x− 2)(x+ 2) x− 2 x

Заметим, что дробь $x2 x$ при всех значениях $x,$ кроме $x = 0,$ равна $x.$

Решим неравенство при $x∈ (−∞; 0) ∪(0;+ ∞ ).$ Тогда имеем:

-x2−-6−-x--− 2x−-3+ x ≤ 0 (x − 2)(x+ 2) x − 2 x2− 6− x− (2x − 3)(x+ 2)+ x(x2 − 4) ----------(x+-2)(x−-2)-----------≤0 x3-− x2-− 6x-≤ 0 (x+ 2)(x− 2) x(x2− x− 6) (x+-2)(x−-2) ≤ 0

Разложим на множители выражение $x2− x − 6$ . Для этого решим квадратное уравнение $x2− x− 6= 0$ . По теореме Виета корнями являются: $x1 = −2$ и $x2 =3$ . Значит, выражение можно записать как $(x+ 2)(x− 3)$ .
Тогда неравенство перепишется в виде:

x(x+-2)(x-−-3) ≤ 0 (x+ 2)(x− 2)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Заметим, что число -2 выколото, так как несмотря на то, что оно находится в числителе, оно находится еще и в знаменателе.

Таким образом, нам подходят

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;0]∪ (2;3]

Вспомним, что изначально мы решали неравенство для всех $x∈ (−∞;0)∪ (0;+ ∞),$ то есть $x⁄= 0.$

Следовательно, окончательный ответ:

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;0)∪ (2;3]

Рациональные неравенства и метод интервалов