Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №37

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

( ) ( ) 5- -14--- √---------2 2x − 3 − x ⋅ x + 1 + 2 + ( − 1 − 2x) ≥ 0

(Задача от подписчиков)

Так как выражение $√ -- a$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $a ≥ 0$ , то неравенство равносильно системе:

( ( ) ( ) |{ 5- -14--- 2x − 3 − x ⋅ x + 1 + 2 − 1 − 2x ≥ 0 | ( − 1 − 2x ≥ 0

Рассмотрим первое неравенство системы. Приведем слагаемые в каждой скобке к общему знаменателю:

2 2x--−-3x-−-5-⋅ 14 +-2(x +-1) +-(−-1-−-2x)(x-+-1)-≥ 0 ⇔ (x +-1)(2x −-5)⋅ (x +-3)(2x −-5) ≤ 0 x x + 1 x x + 1

Решим данное неравенство методом интервалов. Нулями числителя и знаменателя являются $x = − 3;x = − 1; x = 0;x = 52$ , причем в точках $x = 52$ и $x = − 1$ знак меняться не будет, так как это корни кратности 2: $PIC$
Следовательно, решением первого неравенства будут ${ 5} x ∈ [− 3; − 1) ∪ (− 1;0) ∪ 2$ . Пересекая это решение с решением второго неравенства системы ( $1 x ≤ − 2$ ), получаем окончательный ответ

( ] x ∈ [− 3;− 1) ∪ − 1;− 1- 2