Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №35

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2x2+-3-− 1−2-14x + --54-2-≤0 x + 2x x − 2x (2 − x)

Приведем все дроби к общему знаменателю с учетом $(2− x)2 =(x − 2)2 :$

-2x+-3-− 1-−-14x-+ --54--2 ≤ 0 x(x+ 2) x(x− 2) (x− 2) (2x-+-3)(x−-2)2-− (1−-14x)(x-+2)(x−-2)+-54x(x+-2)≤ 0 x(x+ 2)(x− 2)2 (2x3− 5x2− 4x + 12)− (−14x3+ x2+ 56x− 4)+ (54x2+ 108x) -------------------x(x+-2)(x−-2)2-------------------≤ 0 16x3+-48x2+-48x-+-16-≤ 0 x(x+ 2)(x− 2)2 16(x3+ 3x2+ 3x+ 1) --x(x+-2)(x−-2)2--≤ 0

Заметим, что по формуле куба суммы

x3+3x2 +3x +1 = (x +1)3,

Cледовательно, имеем:

16(x+ 1)3 x(x+-2)(x−-2)2 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Тогда нам подходят $x∈ (−∞; −2)∪ [−1;0).$