Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №34

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство:

--1----+ ------4------≤ ---1---+ ---------4---------- x2 − 4 2x2 + 7x + 6 2x + 3 2x3 + 3x2 − 8x − 12

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави

Разложим на множители выражения

2x2 + 7x + 6 и 2x3 + 3x2 − 8x − 12

Решим сначала уравнение

2 3 2x + 7x + 6 = 0 ⇒ x1 = − 2 и x2 = − 2-

Тогда выражение можно переписать в виде

( ) 2x2 + 7x + 6 = 2 x + 3- (x + 2) = (2x + 3)(x + 2) 2

Решим уравнение

2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 0

Оно является кубическим. Т.к. остальные знаменатели содержат скобки $(x − 2)$ , $(x + 2)$ , $(2x + 3)$ , то попробуем найти корень этого уравнения среди чисел $3 2,− 2,− 2$ . Для этого подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в верное тождество:

3 2 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 − 8 ⋅ 2 − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 2 ⋅ (− 2)3 + 2 ⋅ (− 2)2 − 8 ⋅ (− 2 ) − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 ( )3 ( )2 ( ) 2 ⋅ − 3- + 3 ⋅ − 3- − 8 ⋅ − 3- − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 2

Таким образом, каждое из чисел $2,− 2,− 32$ является корнем уравнения $2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 0$ . А т.к. это уравнение может иметь максимум 3 корня, то это и есть все его корни, то есть выражение

( 3) 2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 2(x − 2)(x + 2) x + -- = (x − 2)(x + 2)(2x + 3) 2

Таким образом, неравенство принимает вид: $1 4 1 4 --------------+ --------------- ≤ -------+ ---------------------- ⇒ (x + 2)(x − 2) (x + 2)(2x + 3) 2x + 3 (x − 2)(x + 2 )(2x + 3)$ $2 -----− x-+-6x-−-5----- ----(x −-1)(x-−--5)---- ⇒ (x − 2)(x + 2)(2x + 3) ≤ 0 ⇒ (x − 2)(x + 2 )(2x + 3) ≥ 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Следовательно, решением неравенства будут $( ) x ∈ − 2;− 3 ∪ [1;2) ∪ [5;+ ∞ ) 2$ .