Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №31

Просмотров 9 Комментарии 0

В неравенстве

(x-−-1-) ⋅ f(x-) (x + 1)(x2 − e) > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class=

ОДЗ:

{ x ⁄= − 1 2 x − e ⁄= 0

Покажем, что в качестве искомой функции подходит $f(x) = − (x − 1)(x + 1)(x2 − e)(x + 2)$ :

исходное неравенство примет вид

(x − 1)(x − 1)(x + 1)(x2 − e)(x + 2) (x − 1)2(x + 1)(x2 − e)(x + 2) − ------------------------------------> 0 ⇔ ——————————< 0 (x + 1 )(x2 − e) (x + 1 )(x2 − e)

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

(x-−--1)2(x-+-2)- 1 < 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x − 1)2(x + 2) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = 1, x = − 2

2) Знаменатель нигде не обращается в $0$ .

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $x ∈ (− ∞; − 2).$ Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим требуемое:

x ∈ (− ∞; − 2).