Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

-----1---- 2 √ -- √ -- √-- 2 (x − √2-)2 + 3x − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1) ) ≤ 2.

ОДЗ:

√ -- x ⁄= 2.

Преобразуем исходное неравенство:

√ -- √ -- √ -- -----1√---- + 3x2 − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1 )2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 1 √ -- √ -- √ -- ⇔ -----√---- + (x2 − 2 2x + 2) + 2(x2 − 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1)2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 -----1---- √ --2 √-- 2 ⇔ √ --2 + (x − 2) + 2(x − ( 2 + 1)) ≤ 2. (x − 2)

Покажем, что при любом $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ -- x = ±1 + 2$ :

при $√ -- x ⁄= 2$ :

----1√---- + (x − √2-)2 ≥ 2 ⇔ 1 + (x − √2-)4 − 2(x − √2-)2 ≥ 0 ⇔ (x − 2)2 √ --22 √ --2 √ --2 2 ⇔ ((x − 2) ) − 2 ⋅ (x − 2) + 1 ≥ 0 ⇔ ((x − 2) − 1) ≥ 0,

что верно при всех допустимых $x$ . Равенство имеет место только при $√ -- (x − 2)2 = 1$ (это легко проверить аналогичным способом).

Таким образом, при всех $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ --2 (x − 2) = 1$ , то есть при $√ -- x = ±1 + 2$ .

Так как при любом $x$ выполнено $√ -- 2 2(x − ( 2 + 1 )) ≥ 0$ , то с учётом доказанного утверждения неравенство

-----1---- √ --2 √ -- 2 √ --2 + (x − 2) + 2 (x − ( 2 + 1)) ≤ 2 (x − 2)

может выполняться только при $√ -- x = ±1 + 2$ .
При $x = 1$ имеем:

1-+ 1 + 0 ≤ 2 1

– верно.
При $x = − 1$ имеем:

1 --+ 1 + 8 ≤ 2 1

– неверно.

В итоге, ответ:

√ -- x = 1 + 2.

Рациональные неравенства и метод интервалов