Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №28

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x5-+-4x3-−-5x- x3 + 5x − 42 ≤ 0

ОДЗ:

x3 + 5x − 42 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

5 3 4 2 x + 4x − 5x = 0 ⇔ x (x + 4x − 5) = 0

Решим уравнение $x4 + 4x2 − 5 = 0$ при помощи замены $x2 = t ≥ 0$ :

2 t + 4t − 5 = 0 ⇔ t = − 2 ± 3,

откуда $x2 = 1$ , следовательно, $x = ±1$ .

Найдём нули знаменателя:

x3 + 5x − 42 = 0

Можно угадать корень $x = 3$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $x − x0$ , где $x0$ – его корень, тогда

3 2 | x + 0x + 5x − 42 |-----x −-3----- x3-−-3x2- | x2 + 3x + 14 3x2 + 5x | 3x2-−-9x- | 14x − 42 | 14x-−-42- | 0 |

Так как

2 2 x + 3x + 14 = (x + 1,5) + 11,75 > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> то полное разложение знаменателя на множители: <center class=

По методу интервалов

$PIC$

откуда ответ с учётом ОДЗ:

x ∈ [− 1;0 ] ∪ [1; 3).