Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №26

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x6-+-x3-−-2- x4 − x2 + 1 ≥ 0

ОДЗ:

x4 − x2 + 1 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

6 3 x + x − 2 = 0

Сделаем замену $x3 = t$ :

2 −-1-±-3 t + t − 2 = 0 ⇔ t = 2

тогда

[ [ √ -- x3 = − 2 x = − 32 3 ⇔ x = 1 x = 1

При произвольном $a$

x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2) = (x + a)((x − 0,5a)2 + 0,75a2),

тогда при $a ⁄= 0$ знак суммы $x3 + a3$ совпадает со знаком $x + a$ .

Найдём нули знаменателя:

4 2 x − x + 1 = 0

Сделаем замену $x2 = t ≥ 0$ :

t2 − t + 1 = 0 ⇔ (t − 0,5)2 + 0, 75 = 0,

но $2 (t − 0,5) + 0, 75 > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любых <img decoding=$ .

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

3√ -- (x − 1)(x + 2) ≥ 0

По методу интервалов

$PIC$

откуда ответ с учётом ОДЗ:

3√ -- x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+∞ ).