Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №22

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

x3 +-3x-+-14- x2 − 5x + 7 ≥ 0

ОДЗ:

x2 − 5x + 7 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

3 x + 3x + 14 = 0

Можно угадать корень $x = − 2$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $x − x0$ , где $x0$ – его корень, тогда

| x3 + 0x2 + 3x + 14 |-----x +-2----- x3-+-2x2- | x2 − 2x + 7 − 2x2 + 3x | − 2x2 − 4x | --------7x-+ 14 | | 7x-+-140- | |

Так как $x2 − 2x + 7 = (x − 1)2 + 6 > 0, » class=»math» width=»auto»> то многочлен <img decoding=$ не имеет корней. Следовательно, полное разложение числителя на множители:

x3 + 3x + 14 = (x + 2)(x2 − 2x + 7)

Найдём нули знаменателя:

2 2 x − 5x + 7 = 0 ⇔ (x − 2,5) + 0,75 = 0,

но $(x − 2,5)2 + 0,75 > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любом <img decoding=$ . В итоге исходное неравенство равносильно

(x + 2)(x2 − 2x + 7) -----2--------------≥ 0 ⇔ x + 2 ≥ 0. x − 5x + 7

Так как по ОДЗ подходят любые $x ∈ ℝ$ , то окончательный ответ: $x ≥ − 2.$