Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №2

Просмотров 8 Комментарии 0

Решите неравенство

(x −-2)(x −-22) ⋅ ...-⋅ (x −-22016) (x − 4)(x − 42) ⋅ ... ⋅ (x − 41008) ≤ 0

ОДЗ:

( || x − 4 ⁄= 0 |{ 2 x − 4 ⁄= 0 ||| ... ( x − 41008 ⁄= 0

Так как $22k = 4k$ , то на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

3 5 2015 (x − 2)(x − 2 )(x − 2 ) ⋅ ... ⋅ (x − 2 ) ≤ 0

Заметим, что количество скобок, участвующих в произведении – чётно (в произведении участвуют скобки вида $(x − 22n−1)$ , где $n$ пробегает всевозможные натуральные значения от $1$ до $1008$ , то есть, скобок $1008$ ).

Решим последнее неравенство на ОДЗ методом интервалов. Для этого найдём нули левой части.

(x − 2)(x − 23) ⋅ ... ⋅ (x − 22015) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули левой части:

x = 2, x = 23, .., x = 22015.

По методу интервалов:

$PIC$

Здесь знаки чередуются.

При $x > 22016 » class=»math» width=»auto»> выражение положительно, тогда при учёте чётности количества скобок и того, что кратность каждого корня в произведении равна <img decoding=$ , получаем, что при $x < 2$ выражение также положительно, откуда

x ∈ [2;22) ∪ (22;23] ∪ [25;26) ∪ (26;27] ∪ ...∪ [22013;22014) ∪ (22014;22015].

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).