Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №19

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

( 2 ) ( 2 ) x-- 3x- 3- 1- (x-−--2)(1-−-x)- 8 + 4 + 2 + x ⋅ 1 − x − (x + 2)2 ≥ 0

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Приведем в каждой скобке дроби к общему знаменателю: $3 2 2 2 x-+--6x--+-12x-+-8-⋅ (1-−-x)(x-+-2)-−-(x −-2)-(1-−-x-)≥ 0 ⇒ 8x (x + 2)2$ $(x-+-2)3(1 −-x)((x +-2)2 −-(x-−-2)2) ⇒ 8x(x + 2)2 ≥ 0$

По формуле разности квадратов можно преобразовать выражение $2 2 (x + 2) − (x − 2) = (x + 2 − (x − 2 ))(x + 2 + x − 2) = 4 ⋅ 2x = 8x$ .
Тогда неравенство примет вид:

(x-+-2)3(1-−-x) ⋅-8x (x +-2)3(x-−-1)x- 8x(x + 2)2 ≥ 0 ⇒ x(x + 2)2 ≤ 0

Решим данное неравенство методом интервалов (заметим, что в точке $0$ знак меняться не будет, т.к. эта точка имеет четную кратность):

$PIC$

Таким образом, подходит $x ∈ (− 2;0) ∪ (0;1]$ .