Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №17

Просмотров 23 Комментарии 0

Решите неравенство

2 2 2 2 x-−-4x-+--4- x--+-6x-+-9- (2x-+--x +-5)- (x + 1)2 + (x − 1)2 ≤ 2(x2 − 1)2

(Задача от подписчиков)

Неравенство можно переписать в виде:

2 2 2 2 (x-−-2)- (x-+-3)- (2x--+-x-+-5)- (x + 1)2 + (x − 1)2 ≤ 2(x2 − 1)2

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

2 2 2 2 ((x-−--2)(x-−-1-))--+ ((x-+-3)(x-+-1))- ≤ (2x--+-x-+-5)- ⇔ (x + 1)2(x − 1)2 (x + 1)2(x − 1)2 2 (x2 − 1)2 (x2 − 3x + 2 )2 (x2 + 4x + 3)2 (2x2 + x + 5)2 ⇔ ------2-------2-+ -------2-------2 ≤ --------2------2- (x + 1 )(x − 1) (x + 1) (x − 1) 2(x + 1)(x − 1)

Заметим, что

(x2 − 3x + 2) + (x2 + 4x + 3) = 2x2 + x + 5

Сделаем замену (для удобства): $2 a = x − 3x + 2$ , $2 b = x + 4x + 3$ , $c = (x + 1)(x − 1)$ . Тогда неравенство можно переписать в виде:

2 2 2 2 2 2 2 a--+ b- ≤ (a +-b)-- ⇔ a--+ b- ≤ -a- + 2ab-+ -b- ⇔ c2 c2 2c2 c2 c2 2c2 2c2 2c2 ( ) a2- 2ab- b2- (a-−-b)2 a-−-b 2 ⇔ 2c2 − 2c2 + 2c2 ≤ 0 ⇔ 2c2 ≤ 0 | ⋅ 2 ⇔ c ≤ 0

Так как $f2 ≥ 0$ при любых $f$ , то данное неравенство равносильно

a-−-b = 0 c

Сделаем обратную замену:

x2 − 3x + 2 − x2 − 4x − 3 1 ------(x-−-1)(x-+-1)------ = 0 ⇔ x = − 7-