Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №11

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

2 x-+-30- -----1------ 2x-−--22x-+-2- ---24---- x − x2 + x2 − 3x + 2 ≥ x3 − 3x2 + 2x + x3 − 2x2

Разложим на множители $x2 − 3x + 2$ , для этого решив уравнение

x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x1 = 2 и x2 = 1.

Следовательно, $x2 − 3x + 2 = (x − 1 )(x − 2)$ . Тогда неравенство примет вид: $2 -x-+-30--+ ------1------- ≥ -2x--−-22x-+-2--+ ---24----- ⇒ x (1 − x) (x − 1)(x − 2) x (x − 1 )(x − 2) x2(x − 2)$ $(x + 30) ⋅ (− x )(x − 2) 1 ⋅ x2 (2x2 − 22x + 2) ⋅ x 24(x − 1) ⇒ ----2-----------------+ -2---------------− --2----------------− --2--------------≥ 0 ⇒ x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2 )$ $3 2 3 2 ⇒ −-3x--−-5x--+-34x-+-24- ≥ 0 ⇒ 3x--+-5x--−-34x--−-24 ≤ 0 x2 (x − 1)(x − 2) x2(x − 1)(x − 2)$

Разложим на множители $3x3 + 5x2 − 34x − 24$ . Для этого найдем корни уравнения $3x3 + 5x2 − 34x − 24 = 0$ . Если уравнение имеет рациональный корень $x = p q$ , то число $p$ является делителем $24$ , а $q$ – делителем $3$ . Таким образом, возможные варианты корней:

±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24; ± 1; ± 2-; ± 4-; ± 8-. 3 3 3 3

Перебором находим, что $x = 3$ является корнем уравнения. Выполним деление в столбик:

3 2 | 3x3 + 5x2 − 34x − 24 |-----x2-−-3----- 3x--−-9x--2 | 3x + 14x + 8 14x − 34x | 14x2-−--42x | 8x − 24 | 8x-−-24- | 0 |

Таким образом, $3x3 + 5x2 − 34x − 24 = (x − 3)(3x2 + 14x + 8 )$ . Решив квадратное уравнение $2 3x + 14x + 8 = 0$ , находим еще два корня $2 x = − 3$ и $x = − 4$ .

Значит, $( ) 3x3 + 5x2 − 34x − 24 = (x − 3) ⋅ 3 x + 23 (x + 4) = (x − 3 )(3x + 2)(x + 4 )$ .

Таким образом, неравенство примет вид:

(x − 3)(3x + 2)(x + 4) ----2----------------- ≤ 0 x (x − 1)(x − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением будут $[ 2 ) x ∈ (− ∞; − 4] ∪ − 3;0 ∪ (0;1) ∪ (2;3]$ .