Задача к ЕГЭ на тему «Рациональные неравенства и метод интервалов» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

-2--3-----≤ 25x−-47− --3-- 6x − x − 12 10x− 15 3x +4

Разложим на множители выражение $6x2− x− 12.$

Для этого решим уравнение

4 3 6x2− x− 12= 0 ⇒ x1 = − 3 и x2 = 2

Значит, выражение можно записать в виде

( 4 )( 3) 6 x+ 3 x − 2 = (3x +4)(2x − 3)

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

------3------ − 25x−-47+ --3-- ≤ 0 (3x+ 4)(2x − 3) 5(2x− 3) 3x +4 15−-(25x-−-47)(3x+-4)+15(2x−-3) 5(3x+ 4)(2x − 3) ≤ 0 2 −75x-+-71x+-158≤ 0 5(3x+ 4)(2x − 3)

Разложим на множители выражение $− 75x2 +71x +158.$

Для этого решим уравнение

2 79 − 75x + 71x+ 158= 0 ⇒ x1 =− 75 и x2 = 2

Следовательно, выражение можно переписать в виде

( 79) −75 x + 75 (x − 2)= − (75x+ 79)(x − 2)

Тогда неравенство примет вид

−-(75x+-79)(x-− 2) (75x-+-79)(x−-2) 5(3x +4)(2x− 3) ≤ 0 ⇒ (3x+ 4)(2x − 3) ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением неравенства являются

( ) [ ) x∈ − ∞;− 4 ∪ − 79; 3 ∪ [2;+ ∞) 3 75 2