Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние от точки до плоскости» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

На ребрах $CD$ и $BB1$ куба $A...D1$ с ребром $12$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $DP = 4$ , $B1Q = 3$ . Плоскость $AP Q$ пересекает ребро $CC1$ в точке $M$ .

а) Докажите, что $M$ – середина $CC 1$ .

б) Найдите расстояние от $C$ до плоскости $AP Q$ .

а) Чтобы построить точку $M$ , достаточно продлить прямую $AP$ до пересечения с $BC$ в точке $F$ , а затем пересечь $QF$ с ребром $CC1$ куба.

$PIC$

$AD ∥ BF ⇒ △AP D ∼ △F P C$ с коэффициентом $DP : PC = 1 : 2 ⇒ CF = 2AD = 24$ .

$BB1 ∥ CC1 ⇒ △F M C ∼ △F QB$ с коэффициентом $F C : FB = 24 : 36 = 2 : 3 ⇒ M C = 2QB = 6 = 1CC1 3 2$ .

б) Опустим перпендикуляр $CG$ на $P F$ , проведем отрезок $M G$ . По теореме о трех перпендикулярах, из $P F ⊥ CG$ следует $PF ⊥ M G ⇒ (CM G ) ⊥ PF$ . Опустим перпендикуляр $CH$ на $M G$ . $CH$ лежит в плоскости $CM G ⇒ CH ⊥ P F$ . Таким образом, $CH$ перпендикулярен двум непараллельным прямым ( $M G$ и $P F$ ) плоскости $M F P$ , а значит, и самой плоскости. Осталось найти длину $CH$ .