Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние от точки до плоскости» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ , причем $AD = BC = 6$ , $CD > AB » class=»math» width=»auto»>. Угол между прямыми <img decoding=$ и $BC$ равен $60∘$ . Известно, что $SD = 12$ – высота пирамиды.
Найдите расстояние от точки $C$ до грани $SAB$ .

Так как $CD ∥ AB$ – основания трапеции, то $CD$ параллельна плоскости $SAB$ , в которой находится прямая $AB$ . Следовательно, расстояние от любой точки прямой $CD$ до плоскости $SAB$ будет одинаковым. Найдем расстояние до плоскости $SAB$ от точки $D$ .
Так как $SD$ – высота пирамиды, то $SD ⊥ (ABC )$ . Проведем $DK ⊥ AB$ (точка $K$ упадет на продолжение отрезка $AB$ за точку $A$ ).
Если $E$ – точка пересечения прямых $AD$ и $BC$ , то $∠AEB = 60∘$ . Так как также $∠BAE = ∠ABE$ (так как трапеция равнобедренная), то $△AEB$ равносторонний и $∠BAE = 60∘$ . Следовательно, и $∠ADC = ∠BCD = 60∘$ .

$PIC$

По теореме о трех перпендикулярах $SK ⊥ AB$ (заметим, что $SK ∈ (SAB )$ ). Тогда перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на плоскость $SAB$ упадет на $SK$ (в противном случае по теореме о трех перпендикулярах проекция $HK$ наклонной $DK$ будет перпендикулярна $AB$ и тогда будут существовать в одной плоскости два перпендикуляра $SK$ и $HK$ к прямой $AB$ , что невозможно).
Таким образом, необходимо найти $DH$ .
Из прямоугольного треугольника $DAK$