Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние от точки до плоскости» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCD$ – правильный тетраэдр с ребром $6$ . $M, N,K$ – такие точки на ребрах $AB, AD, CD$ соответственно, что $AM = M B, DN = 2N A = CK$ . Плоскость $M N K$ пересекает ребро $BC$ в точке $P$ . Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $ACD$ .

1) По условию $ABCD$ представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны $6$ . Найдем, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $BC$ . Для этого построим сечение пирамиды плоскостью $M N K$ . Продлим прямую $N K$ до пересечения с прямой $AC$ – получим точку $Q$ . Соединив точки $Q$ и $M$ , получим линию пересечения основания – отрезок $M P$ (сечением является четырехугольник $M N KP$ ).

$PIC$

По теореме Менелая для $△ADC$ и прямой $QK$ имеем:

$AN-- ⋅ DK- ⋅ CQ-= 1 ⇒ QA = 2 N D KC QA$ .

Аналогично для $△ABC$ и прямой $QP$ :

$BM--- AQ-- CP-- 6- M A ⋅QC ⋅ P B = 1 ⇒ BP = 5$ .

2) Проведем $P H ⊥ ADC$ и $P F ⊥ AC$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $HF ⊥ AC$ , следовательно, $∠HF P = ∠ (ABC, ACD ) = ∠ α$ . Найдем $P H$ из треугольника $P HF$ . Для этого найдем $P F$ и $∠ α$ .

Проведем $BL ⊥ AC$ , тогда $∠BLD = ∠ α$ . Треугольник $BLD$ – равнобедренный ( $√ -- BL = LD = 3 3,BD = 6$ ). По теореме косинусов найдем $1- cos ∠α = 3$

Тогда $√ -- sin ∠ α = 2--2-= P-H- 3 P F$ .

$√ -- 12---3 △BLC ∼ △P FC ⇒ PF = 5$

Таким образом, $8√6-- PH = ----- 5$ .