Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние от точки до плоскости» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S.$ Через точку пересечения диагоналей основания провели плоскость $α$ перпендикулярно ребру $SA.$ Найдите расстояние от точки $N$ до плоскости $α,$ если $N$ — середина $AD = 2√2,$ а высота пирамиды равна 11.

Построим сечение пирамиды плоскостью $α.$ Так как $α ⊥ SA,$ то $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в $α.$ Обозначим $AC ∩BD = O.$ Проведем $OK ⊥ SA.$

По теореме о трех перпендикулярах $SA ⊥ BD$ как наклонная, поскольку $SO ⊥ (ABC ),OA ⊥ BD$ — проекция.

Таким образом, имеем две пересекающиеся прямые $OK$ и $BD$ в плоскости $α.$ Значит, сечением пирамиды плоскостью $α$ является треугольник $BKD.$

Проведем $MN ∥ BD,$ следовательно, $MN ∥ α.$ Так как расстояния от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одинаковы, то имеем:

ρ(N,α)= ρ(Q,α)

Здесь буквой $ρ$ обозначили расстояние.

$PIC$

Так как по условию $SA ⊥ α,$ то проведем $QH ∥SA,$ следовательно, $QH ⊥ α.$

По построению $MN$ — средняя линия $△BAD,$ следовательно, $AQ = QO.$ Тогда $QH$ — средняя линия $△KAO$ и $1 QH = 2AK.$

В $△SAO$ имеем:

AO = 2√2:√2-= 2, AS =∘22-+-112 = 5√5

Тогда из подобия треугольников $AKO$ и $ASO :$

AK- AO- AO-⋅AO- 2-⋅2- AO = AS ⇒ AK = AS = 5√5-

Тогда искомое расстояние равно

1 2 2√5- QH = 2AK = 5√5-= -25-

Расстояние от точки до плоскости