Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние между скрещивающимися прямыми» №3

Просмотров 4 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . Найдите расстояние между прямыми $AB1$ и $BC1$ , если ребро куба равно $a$ .

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая $AB1$ пересекает плоскость $(BB1C1 )$ , в которой лежит $BC1$ , в точке $B1$ , не лежащей на $BC1$ .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой $BC1$ и плоскостью, проходящей через $AB1$ параллельно $BC1$ .

$PIC$

Для этого проведем $AD 1$ — она параллельна $BC 1$ . Следовательно, по признаку плоскость $(AB1D1 ) ∥ BC1$ .

2) Опустим перпендикуляр $C1H$ на эту плоскость и докажем, что точка $H$ упадет на продолжение отрезка $AO$ , где $O$ – точка пересечения диагоналей квадрата $A1B1C1D1$ .
Действительно, т.к. по свойству квадрата $C O ⊥ B D 1 1 1$ , то по теореме о трех перпендикуляр проекция $HO ⊥ B1D1$ . Но $△AB1D1$ равнобедренный, следовательно, $AO$ – медиана и высота. Значит, точка $H$ должна лежать на прямой $AO$ .