Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние между скрещивающимися прямыми» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ , ребро которого равно $√ --- 32$ , найдите расстояние между прямыми $DB1$ и $CC1$ .

Прямые $DB1$ и $CC1$ скрещиваются по признаку, т.к. прямая $DB1$ пересекает плоскость $(DD1C1 )$ , в которой лежит $CC1$ , в точке $D$ , не лежащей на $CC1$ .

$PIC$

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой $CC1$ и плоскостью, проходящей через $DB 1$ параллельно $CC 1$ . Т.к. $DD ∥ CC 1 1$ , то плоскость $(B D D ) 1 1$ параллельна $CC1$ .
Докажем, что $CO$ – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, $CO ⊥ BD$ (как диагонали квадрата) и $CO ⊥ DD1$ (т.к. ребро $DD1$ перпендикулярно всей плоскости $(ABC )$ ). Таким образом, $CO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, $CO ⊥ (B D D ) 1 1$ .

$AC$ , как диагональ квадрата, равна $√ -- AB 2$ , то есть $√ --- √ -- AC = 32 ⋅ 2 = 8$ . Тогда $1 CO = 2 ⋅ AC = 4$ .