Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние между скрещивающимися прямыми» №1

Просмотров 4 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . Найдите расстояние между прямыми $A1B$ и $AC1$ , если ребро куба равно $√ -- 6$ .

$PIC$

По определению угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через $A1B$ параллельно $AC1$ .

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. $B C ⊥ (AA B ) 1 1 1 1$ , то проекция наклонной $AC1$ на эту плоскость – это прямая $AB1$ .

Пусть $AB1 ∩ A1B = O$ . Опустим из точки $O$ на $AC1$ перпендикуляр $OK$ и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что $OK$ перпендикулярен прямой $A1B$ .
Действительно, проведем $KH ∥ B1C1$ (следовательно, $H ∈ AB1$ ). Тогда т.к. $B1C1 ⊥ (AA1B1 )$ , то и $KH ⊥ (AA1B1 )$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция $HO ⊥ A1B$ ) наклонная $KO ⊥ A1B$ , чтд.
Таким образом, $KO$ – искомое расстояние.

Заметим, что $△AOK ∼ △AC1B1$ (по двум углам). Следовательно,

√ -- √-- AO OK 6 ⋅ 2 AC---= B--C-- ⇒ OK = ---√----= 1. 1 1 1 2 3