Задача к ЕГЭ на тему «Расчет касания двух графиков» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите ординату точки касания графика функции $y = sin2x$ и прямой $y = x+ 0,5 − π. 4$

Если указанные графики касаются в точке $(x0;y0),$ то производные соответствующих функций равны в точке $x0$ :

2sinx0⋅cosx0 = 1 sin2x0 = 1 π x0 = 4 + πk, k ∈ℤ

При этом необходимо, чтобы при $x= x0$ значения соответствующих функций совпадали:

sin2x0 = x0+ 0,5− π- 4

Далее, при $x0 = π+ πk, k ∈ℤ 4$ получаем $sin2x0 = 0,5.$ Тогда имеем:

π- 0,5= x0+ 0,5− 4

Отсюда $π- x0 = 4.$

Таким образом, для касания указанных графиков в точке $(x0;y0)$ необходимо, чтобы было выполнено $x0 = π. 4$ Но этого и достаточно, ведь при $x0 = π 4$ совпадают значения функций и их производных.

В итоге получаем

y0 = sin2x0 =0,5