Задача к ЕГЭ на тему «Расчет касания двух графиков» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Говорят, что две кривые касаются в точке $(x; y)$ , если они обе через неё проходят и имеют в этой точке общую касательную. Найдите абсциссу точки касания графиков функций $x4- 2 1- y = 4 + πx + 3$ и $x3 1 y = ---+ πx2 + -- 3 4$ .

Графики функций $y = f (x)$ и $y = g(x )$ касаются в точке $(x0;y0)$ тогда и только тогда, когда

{ y0 = f(x0) = g(x0) f′(x0) = g′(x0),

таким образом, для касания данных графиков в точке с абсциссой $x$ необходимо и достаточно выполнение условия

( 4 3 { x--+ πx2 + 1-= x-+ πx2 + 1- 4 3 3 4 ( x3 + 2πx = x2 + 2πx.

Из второго уравнения последней системы находим, что $x = 0$ или $x = 1$ , тогда, подставляя эти значения в первое уравнение, находим, что $x = 0$ не подходит, а $x = 1$ – подходит. Таким образом, $1$ – абсцисса точки касания данных графиков.