Задача к ЕГЭ на тему «Расчет касания двух графиков» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Нормалью к графику функции в точке $x0$ называется прямая, проходящая через точку $(x0;f (x0))$ перпендикулярно касательной, проведенной к графику данной функции в точке $x0$ .
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции

2 f(x) = x + 2x + 4

будет параллельна нормали, проведенной к графику $f(x )$ в точке $x = − 1,125 0$ .

Пусть к графику $f(x)$ в точке $x0 = − 1,125 = − 98$ проведена касательная. Тогда уравнение касательной имеет вид $y = f′(− 1,125 )x + a$ , где $a$ – некоторое число. Так как угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых в произведении дают $− 1$ , то уравнение нормали в точке $x0$ будет иметь вид $---1---- y = − f′(−1,125)x + b$ .
Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то уравнение касательной, параллельной этой нормали, в точке $x1$ будет иметь вид: $y = f′(x1 )x + c = − f′(−11,125)x + c$ . Следовательно,

′ -----1----- ----1----- f (x1) = − f ′(− 1,125) ⇒ 2x1 + 2 = − − 2 ⋅ 9 + 2 ⇒ x1 = 1. 8