Задача к ЕГЭ на тему «Расчет касания двух графиков» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Прямая $y =12x +13$ является касательной к графику функции $y =x3 − 9x2 − 9x +2.$ Найдите абсциссу точки касания.

Пусть $x0$ — точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и $y′ = 3x2− 18x− 9,$ то

2 3x0 − 18x0− 9= 12 ⇔ x0 = 7, x0 = −1

Так как $y = 12x+ 13$ и $y = x3− 9x2 − 9x +2$ имеют общую точку (и это точка касания), то

3 2 12x0 +13 = x0− 9x0 − 9x0+ 2

Проверим значение $x0 =− 1:$

3 2 12⋅(−1)+ 13= (−1) − 9⋅(−1) − 9 ⋅(− 1) +2 ⇔ 0 = 0

Аналогичной проверкой убеждаемся, что $x = 7 0$ не подходит. Следовательно, ответ $− 1.$