Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 2BC,$ $∘ ∠BAC = 30 .$ Найдите $AC2- BC2 .$ Если задача допускает несколько ответов — запишите полусумму наименьшего и наибольшего из них.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы. В данном случае известно, что в треугольнике $ABC$ сторона, лежащая против угла в $30∘,$ равна половине другой стороны. Значит ли это, что треугольник $ABC$ обязательно прямоугольный? Подобного рода умозаключения в общем случае очень опасны, так как часто попросту неверны.

Но в данном конкретном случае нам повезло: докажем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный. В самом деле, если опустить перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую, содержащую $AC,$ то окажется, что $BH =0,5AB = BC.$

$PIC$

Но если при этом $BH$ и $BC$ не совпадают, то $HBC$ — прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза $BC$ равна катету $BH,$ чего быть не может, следовательно, $BH$ и $BC$ совпадают и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

2 AB2 = BC2 + AC2 ⇔ 4BC2 = BC2 + AC2 ⇔ AC2 = 3BC2 ⇔ AC2-= 3 BC