Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 9.

$PIC$

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90∘.$ Так как треугольник равнобедренный, то

∘ ∠CBA = ∠BCA = 90-= 45∘ 2

Квадрат образует с гипотенузой углы $∠GF C = 90∘,$ $∠DEF = 90∘.$

В прямоугольных треугольниках $DBE$ и $GF C$

∠BDE = 90∘− ∠DBE = 45∘ ∘ ∘ ∠F GC = 90 − ∠F CG = 45

Значит, треугольники $DBE$ и $GFC$ — равнобедренные, то есть $BE = ED,$ $FG = F C.$ Так как $ED =F G = EF$ по свойству квадрата, то

BE = FC = EF

Пусть сторона квадрата равна $a,$ тогда длину гипотенузы можно выразить через сторону квадрата:

BC = 3⋅a= 9 ⇒ a= 3

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора