Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора» №14

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30∘, а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии 2√3- от основания.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка P находится на равном расстоянии от сторон AB и BC. Значит, точка P лежит на биссектрисе BH, а так как AB = BC, то BH также является медианой и высотой по свойству равнобедренного треугольника.

Так как BH — биссектриса, то ∠ABH = 120∘= 60∘. 2 Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90∘, то ∘ ∠BP K = ∠BAH = 30 .

PIC

Пусть BK = a. Так как катет, лежащий против угла в 30∘, равен половине гипотенузы, то BP = 2a.

В треугольнике BP K по теореме Пифагора

2 2 2 2 2 √ - BK + KP = BP ⇒ a + 9= 4a ⇒ a= 3

Тогда

√- BP = 2 3 BH = BP + PH = 4√3

В прямоугольном треугольнике ABH ∠BAH = 30∘, следовательно, √- AB = 2BH = 8 3. Теперь найдем AH по теореме Пифагора:

∘ --√--2---√--2 AH = (8 3) − (4 3) = 12⇒ AC = 12⋅2= 24
Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!