Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC =30,$ $AC =48.$ Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BK$ — медиана, высота и биссектриса. Значит, имеем:

AK = 1AC = 24 2

По теореме Пифагора в треугольнике $ABK :$

BK = ∘AB2--−-AK2-= √900−-576= 18

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AF$ и $BK.$ По свойству медиан точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда $BM = 12,$ $MK = 6.$

$PIC$

Пусть $T$ — точка пересечения биссектрис $AE$ и $BK.$ В треугольнике $ABK$ биссектриса $AT$ делит отрезок $BK$ на части, пропорциональные сторонам, образующим угол $A.$ Тогда получаем

TK- = TB- ⇒ TK- = 18−-TK- AK AB 24 30

Отсюда $TK = 8$ и искомое расстояние равно

TM = TK − KM =8 − 6= 2

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора