Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный параллелепипед» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ : $√ --- AB1 = 13$ , $AD1 = 5$ , $√ -- AC = 2 5$ . Чему равна сумма всех ребер параллелепипеда?

$PIC$

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: $AB2 = AB2 + AA2 1 1$ , $AC2 = AB2 + AD2$ , $AD2 = AD2 + AA2 1 1$ . Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
$2 2 2 AB2 = AB-1-+-AC---−-AD--1 = 13-+-20-−-25-= 4 2 2$ $⇒$ $AB = 2$ ;
$2 2 2 2 AB-1-+-AD-1-−-AC--- 13-+-25-−-20- AA 1 = 2 = 2 = 9$ $⇒$ $AA1 = 3$ ;
$2 AC2 + AD21 − AB21 20 + 25 − 13 AD = ---------2--------- = ------2------= 16$ $⇒$ $AD = 4$ .
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде $12$ ребер – по $4$ каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна:

S = 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 = 36.