Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный параллелепипед» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCDA1B1C1D1$ – прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12. Найдите разность между площадью квадрата со стороной $AA1 + A1D1 + D1C1$ и суммой площадей квадратов со сторонами $AA1$ , $A1D1$ , $D1C1$ .

$PIC$

Обозначим $AA1 = a$ , $A1D1 = b$ , $D1C1 = c$ , тогда площадь полной поверхности $ABCDA1B1C1D1$ равна

S = 2ab + 2ac + 2bc. полн

Площадь квадрата со стороной $a + b + c$ равна $(a + b + c)2$ , сумма площадей квадратов со сторонами $a$ , $b$ , $c$ равна $a2 + b2 + c2$ , тогда искомая величина равна

(a + b + c)2 − (a2 + b2 + c2) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc − (a2 + b2 + c2) = = 2ab + 2ac + 2bc = S полн = 12.