Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный параллелепипед» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ . Эту призму вписали в прямоугольный параллелепипед $M N KP M1N1K1P1$ так, что все вершины обоих оснований призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем $BC$ и $EF$ лежат на $M N$ и $KP$ соответственно, а точки $A$ и $D$ – на сторонах $M P$ и $N K$ соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?

$PIC$

Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, $M M1$ ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть $h$ – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника $BF ⊥ FE$ . Так как $M N KP$ – прямоугольник, то есть $M P ⊥ P K$ , то $M P ∥ BF$ . Заметим также, что вообще говоря $M P = BF$ , а $PK = AD$ .
Пусть $a$ – сторона шестиугольника. Его угол равен $120 ∘$ , следовательно, по теореме косинусов:

√ -- BF 2 = a2 + a2 − 2a ⋅ a ⋅ cos120 ∘ = 3a2 ⇒ M P = a 3.

Заметим также, что $∘ ∠M AB = 30$ , следовательно, в треугольнике $M AB$ :

M B 1 sin 30∘ = ----- ⇒ M B = --a. AB 2

Следовательно, $M N = 12a + a + 12a = 2a$ .
Значит, $M N KP$ – прямоугольник со сторонами $a√3--$ и $2a$ .

Площадь правильного шестиугольника равна $√ -- 3--3-a2 2$ , следовательно, объем призмы

√ -- 3 3 2 Vprism = --2--a h,

а объем параллелепипеда

√ -- √ -- Vparallel = a 3 ⋅ 2a ⋅ h = 2 3a2h

Следовательно,

Vprism 3 ------- = --= 0,75. Vparallel 4