Задача к ЕГЭ на тему «Прямоугольный параллелепипед» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Дан прямоугольный параллелепипед, основания $ABCD$ и $A1B1C1D1$ которого являются квадратами со стороной $√ -- 3 2$ . Пусть $M$ – точка пересечения диагоналей грани $AA1D1D$ , $N$ – точка пересечения диагоналей грани $DD1C1C$ . Найдите $M N$ .

$PIC$

Так как $AD = DC$ , то грани $AA1D1D$ и $DD1C1C$ равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, $A1D = C1D$ . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то $A1M = M D = DN = N C1$ . Рассмотрим $△A1C1D$ : в нем $M N$ является средней линией, следовательно, она равна половине основания $A1C1$ , которое в свою очередь является диагональю квадрата $A1B1C1D1$ , следовательно, равно $√ -- √ -- 3 2 ⋅ 2 = 6$ . Следовательно, $M N = 3$ .