Задача к ЕГЭ на тему «Произвольные последовательности чисел» №7

Просмотров 10 Комментарии 0

Иван придумал функцию $f (x )$ , область определения которой $ℝ$ , а область значений – конечное подмножество $ℝ$ .

Настя придумала бесконечную последовательность, в которой каждый член, начиная с пятого, имеет вид

an = f (f(f(an− 4) + an−3) − an−1).

Можно ли с уверенностью утверждать, что начиная с некоторого номера $N$ члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом $T > 0 » class=»math» width=»auto»> (т.е. при любых <img decoding=$ выполнено равенство $aN+k = aN+k+T$ )?

Заметим, что каждый член последовательности, начиная с пятого, однозначно определяется предыдущими четырьмя членами, следовательно, если в данной последовательности дважды встречается фрагмент $a,b,c,d$ , то есть она имеет вид $a1...,a, b,c,d,...,a,b,c,d,...$ , то она периодическая.

Остаётся показать, что некоторый фрагмент такого вида действительно встретится в последовательности Насти не менее двух раз.

Так как область значений $f (x)$ – конечное множество, то в этом множестве найдётся элемент, который встречается в последовательности бесконечное число раз. Обозначим этот элемент через $a$ .

Так как $a$ встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа $a$ лишь конечное число, то найдётся число $b$ , такое, что фрагмент $a, b$ встречается в последовательности бесконечное число раз.

Так как фрагмент $a,b$ встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа фрагмента $a,b$ лишь конечное число, то найдётся число $c$ , такое, что фрагмент $a,b,c$ встречается в последовательности бесконечное число раз.

Аналогично, найдётся число $d$ такое, что фрагмент $a,b,c,d$ встречается в последовательности бесконечное число раз, следовательно, Настина последовательность периодична.